Ο ηθοποιός φροντίζει πάντα να διατηρεί χαμηλό προφίλ, έστω και αν στο παρελθόν έχει απασχολήσει τα μίντια τόσο με τις σχέσεις του, όσο και με τη σχέση του με τον πατέρα του, τον ηθοποιό Νίκο Κούρκουλο, που απεβίωσε το 2007.
Η «κόντρα» πατέρα- γιου ήταν κάτι για το οποίο όλοι έμοιαζαν να ξέρουν, κανείς ωστόσο δεν γνώριζε τις λεπτομέρειες. Σε μία από τις σπάνιες συνεντεύξεις του, ο Άλκης Κούρκουλος μίλησε γι’ αυτή και για το γεγονός ότι δεν θέλησε να ζήσει στη σκιά του πατέρα του.
Μιλώντας στο "Πρώτο Θέμα", θα πει: «∆εν χρειάζονταν πολλά λόγια για να καταλάβουμε την πλευρά του καθενός – κι ας συγκρουόμαστε γι’ αυτό. Ξέραμε ότι είµαστε διαφορετικοί και σε ποιον βαθµό. Ήταν ξεκάθαρο ότι ούτε εγώ ούτε εκείνος θέλαµε να είµαστε οι ίδιοι. Ήταν προφανές ότι δεν µπορούσα παρά να χαράξω γραµµές διαφορετικές από τον πατέρα µου, να είµαι κάτι άλλο. Και γιατί να είµαι σαν τον πατέρα µου; Κανείς ποτέ δεν ήθελε τις ρέπλικες, σε οποιοδήποτε επίπεδο, κι αυτό ευτυχώς για µένα ήταν σαφές εξαρχής. Ακόµη και τώρα, που έρχονται κάποιες κυρίες -µε αγάπη, δεν λέω- µετά την παράσταση και µου λένε “Αντε, παιδάκι µου, να ξεπεράσεις τον πατέρα σου”, ξέρω ότι δεν υπάρχει κάτι να ξεπεράσω γιατί εγώ είµαι ένας άλλος. Τι νόηµα θα είχε αν προσπαθούσα να κάνω το ίδιο;»
Ο Άλκης θα παραδεχτεί, επίσης, ότι τον στοιχειώνει ακόμα η εικόνα του πατέρα του: «Εννοείται, όπως εννοείται ότι πολλές φορές πίστευα ότι δεν θα ξεφύγω από αυτή. Γιατί να µην το σκέφτοµαι και γιατί να µην το φοβάµαι; Άνθρωπος δεν είµαι κι εγώ; ∆εν έχω φοβίες;Όπως όλοι είναι οι γιοι κάποιου, έτσι κι εγώ. Βγήκα ο γιος του Κούρκουλου, τι να κάνω αφού δεν µπορώ να το αλλάξω; Πρέπει, ωστόσο, να παραδεχθώ ότι πλέον συνειδητοποιώ απόλυτα τη σπουδαία δουλειά που έχει κάνει ο πατέρας µου – στο Εθνικό Θέατρο και αλλού. Το όραµα που είχε. Άργησα πολύ, αλλά είµαι περήφανος για τον πατέρα µου. Τώρα αντιλαµβάνοµαι γιατί επέµενε στην έννοια ενός θεάτρου που θα ανήκε σε όλους και που θα άξιζε γι’ αυτόν ακριβώς τον λόγο να λέγεται Εθνικό».